PENERAPAN METODE PIAS KAIDAH TRAPESIUM DAN KAIDAH SEGIEMPAT DALAM MENGHITUNG LUAS DAN VOLUME BENDA PUTAR

PENERAPAN METODE PIAS KAIDAH TRAPESIUM DAN KAIDAH SEGIEMPAT DALAM MENGHITUNG LUAS DAN VOLUME BENDA PUTAR

Intan Ayu Maharani, Nurrishma S. H., Fajar Wicaksono

Jurusan Tadris Matematika, FTIK, IAIN Tulungagung

e-mail: intanayumaharani.im@gmail.com, piscorinrishma@gmail.com,

wicak7514@gmail.com

ABSTRAK

Penerapan ilmu matematika sangatlah luas. Salah satunya dalam menentukan luas dan volume benda putar. Luas benda putar adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertentu dengan sumbu x atau sumbu y. Volume benda putar adalah volume yang diperoleh dari luasan yang diputar dengan poros putar tertentu (sumbu x atau sumbu y). Perhitungan luas dan volume benda putar ini pada dasarnya menggunakan konsep Integral Riemann. Dalam artikel ini akan dibandingkan penggunaan integrasi numerik menggunakan metode Pias kaidah Segi Empat dengan kaidah Trapesium. Dalam pembahasan yang diperoleh menunjukkan bahwa hasil perhitungan menggunakan kaidah Trapesium dengan kaidah Segi Empat adalah sama. Hal ini disebabkan karena proses, konsep dan rumus dari kedua kaidah tersebut sama. Sehingga perhitungan dapat menggunakan satu kaidah saja.

Kata kunci: Kaidah Segi Empat, Kaidah Trapesium, Integral Riemann, Luas Benda Putar, Volume Benda Putar

1. Pendahuluan

Luas benda putar adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertentu dengan sumbu x atau sumbu y. Volume benda putar adalah volume yang diperoleh dari luasan yang diputar dengan poros putar tertentu (sumbu x atau sumbu y). Tujuan dari menentukan luas dan volume benda putar adalah mendapatkan ukuran luas dan volume yang tidak dapat dihitung menggunakan rumus bangun dan ruang. Oleh karena itu dapat menggunakan integrasi numerik. Integrasi numerik merupakan sebuah cara yang digunakan untuk menghitung luasan daerah tertentu di bawah fungsi pada selang yang ditentukan. Dalam makalah ini digunakan metode Pias kaidah segi empat dan kaidah trapesium.

Kaidah segi empat dan kaidah trapesium memiliki kelebihan dan kekurangan yang sama yaitu semakin banyak jumlah pias yang dibentuk maka hasil yang diperoleh akan semakin mendekati nilai eksaknya. Akan tetapi semakin banyak pias yang dibentuk maka perhitungan akan semakin lama.

Pada artikel ini akan dikaji tentang hasil perhitungan luas dan volume benda putar. Dalam perhitungan ini terdapat beberapa hal yang menjadi pertimbangan yaitu tentang fungsi dari objek yang akan dihitung luas dan volumenya. Fungsi dari objek tersebut jika ditentukan derivatif kedua harus tidak sama dengan nol ”0”. Hal ini dimaksudkan agar dapat dihitung galat dari kedua kaidah di atas.



2. Metode

Kaidah integrasi numerik yang dapat diturunkan dengan metode pias diantaranya adalah kaidah segiempat, kaidah trapesium, dan kaidah titik tengah. Disini yang akan digunakan untuk menentukan luas dan volume benda putar adalah kaidah segiempat dan kaidah trapesium. Dua kaidah tersebut pada hakikatnya sama, hanya cara penurunan rumusnya yang berbeda, sedangkan kaidah titik tengah merupakan bentuk kompromi untuk memperoleh nilai hampiran yang lebih baik.

1. Kaidah Segiempat

Metode segiempat merupakan salah satu metode penyelesaian integrasi numerik dalam menentukan luas suatu daerah, misalkan diketahui daerah yang dibatasi oleh sebuah fungsi f(x) dalam interval [a,b], jika interval [a,b] menjadi n buah pias, maka satu pias dapat dilihat pada gambar dibawah ini:

Gambar 1. Luas satu pias

Luas satu pias dapat ditentukan dengan rumus luas segiempat yaitu L=p×l dimana panjang dapat diwakili oleh h=x1-x0 dan lebar diwakili oleh f(x1) yaitu sisi sebelah kanan, sehingga luas satu pias adalah L=h×f(x1), tetapi masih ada daerah kosong yang dihitung sebagai luas yang disebut galat (error), dapat diperoleh sebagai berikut:

x0x1f(x)dx≈hf(x0) ,

(tinggi pias= f(x0)), atau

x0x1f(x)dx≈hf(x1) ,

(tinggi pias= f(x1))

Keduanya dijumlahkan sehingga diperoleh

2x0x1f(x)dx≈h [f(x0)+f(x1)]

Bagi setiap ruas persamaan hasil penjumlahan diatas dengan 2, untuk menghasilkan:

x0x1f(x)dx≈h2 [f(x0)+f(x1)]

Persamaan di atas dinamakan kaidah segiempat. Kaidah segiempat untuk satu pias dapat diperluas untuk menghitung kaidah segiempat gabungan, sehingga diperoleh:

abf(x)dx≈h2 (f0+2f1+2f2+…+2fn-1+fn)

=h2 (f0+2i=1n-1fi+fn)

Dengan fr=f(xr),     r=0,1,2, …, n.

Gambar 2. Kaidah segiempat gabungan

2. Kaidah Trapesium

Misalkan sebuah pias berbentuk trapesium dari x=x0 sampai x=x1 berikut:

Gambar 3. Kaidah Trapesium

Luas satu trapesium adalah

x0x1f(x)dx≈h2[f(x0)+f(x1)]

Persamaan ini dikenal dengan kaidah trapesium. Bila selang [a,b] dibagi atas n buah pias trapesium, kaidah integrasi yang diperoleh adalah kaidah trapesium gabungan (composite trapeziodal’s rule). Perlu diingat bahwa kaidah trapesium sama dengan kaidah segiempat, hanya penurunan rumusnya saja yang berbeda.

Untuk menghitung galat satu buah pias adalah

E=0hf(x)dx-h2 (f0+f1)

Sedangkan untuk n buah pias, galat keseluruhan (total) adalah

Etot=-h312(f0"+f1"+f2"+…+fn-1")

Dapat disederhanakan dengan teorema nilai antara untuk penjumlahan menjadi

Etot=-h312i=1n-1fi"

        =-nh312f"(t)         , a<t<b

Mengingat

h=b-an

maka

Etot≈-nh312f"(t)

≈-n b-anh312f"(t)

≈-(b-a)h312f"(t)

Dengan demikian,

abf(x)dx=h2 (f0+2i=1n-1fi+fn)-(b-a)h312f"(t)

Jadi, galat total integrasi dengan kaidah trapesium sebanding dengan kuadrat lebar pias. Semakin kecil ukuran h, semakin kecil pula galatnya, namun semakin banyak jumlah komputasinya. Begitu juga pada kaidah segiempat, karena kedua kaidah integrasinya sama, jadi galatnya pun tidak jauh berbeda.

    Untuk menghitung Luas dan Volume benda putar menggunakan kedua kaidah diatas menjadi

L2=2πh2[f0+f4+2i=13fi]

V2=πh2[f02+f42+2i=13fi2]

3. Pembahasan

Dalam pembahasan ini akan dibahas mengenai cara perhitungan luas permukaan dan volume dari benda putar yang dibentuk dari suatu fungsi. Misal hitunglah luas permukaan dan volume dari benda di bawah ini dengan f(x)=x2+7 dalam satuan cm menggunakan kaidah segiempat dan kaidah trapesium.

Penyelesaian:

Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi  3 bagian seperti pada gambar, bagian 1 dan 3 berbentuk silinder jadi tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, sedangkan pada bagian ke 2 perlu dihitung dengan membagi-bagi ruangnya. Perhitungannya yaitu sebagai berikut:

Bagian 1

L1 =2π(7)(4)=56π cm2

V1 =π(7)2(4)=196π cm3

Bagian 2

L3=2π(23)(12)=552 cm2

V3=π(23)2(12)=6348 cm3

Bagian 3

h=1

n	0	1	2	3	4
f(n)=x2+7	7	8	11	16	23

Dengan menggunakan kaidah segiempat, dapat dihitung:

L2=2πh2[f0+f4+2i=13fi]

     =π[7+23+2(8+11+16)]

     =π[100]

     =100π cm2

V2=πh2[f02+f42+2i=13fi2]

     =12π[(7)2+(23)2+2(82+112+162)]

     =12π[49+529+2(64+121+256)]

     =12π[1460]

    =730π cm3

LTotal=L1+L2+L3

           =56π+100π+552π

           =708π cm2

           =708(3,14)

          =2223,12 cm2

VTotal=V1+V2+V3

           =196π+730π+6348π

           =7274π cm3

           =7274(3,14)

           =22840,36 cm3

Dengan menggunakan kaidah trapesium, dapat juga dihitung galat totalnya yaitu:

f(x)=x2-7

f'(x)=2x

f"(x)=2

ETotal=-h312(f0''+f1''+f2''+f3'')

          =-112(2+2+2+2)

           =-812

           =-23

          =-0,666

Karena untuk mencari luas permukaan dan volume benda putar dengan menggunakan kaidah segiempat dan kaidah trapesium memiliki rumus yang sama maka dalam penjelasan di atas hanya dipaparkan penyelesaian salah satu kaidah saja beserta perhitungan galat totalnya.

4. Kesimpulan

Berdasarkan perhitungan dan analisa dari artikel ini, dapat kami simpulkan bahwa keakuratan perhitungan dalam menggunakan kaidah segiempat dan kaidah trapesium sama perbandingannya. Kesamaan ini disebabkan karena rumus yang digunakan dalam kaidah segiempat dan kaidah trapesium sama dan tidak ada bedanya sama sekali. Sehingga menurut kami, apabila melakukan perhitungan dengan menggunakan metode pias pada kaidah segiempat dan kaidah trapesium sebaiknya menggunakan salah satu kaidah saja antara kaidah segiempat atau kaidah trapesium, karena pada akhir hasil perhitungannya nanti akan menghasilkan nilai yang sama pada kedua kaidah tersebut.

5. Saran

Dari pembahasan yang telah dipaparkan, dalam menggunakan kaidah segiempat maupun trapesium sebaiknya menggunakan jumlah pias yang banyak. Karena semakin banyak pias, maka semakin baik pula nilainya yang mengakibatkan galat atau nilai koreksinya semakin kecil.

6. Daftar Pustaka

Munir, Renaldi., (2010), “Metode Numerik”, Bandung: Informatika.

Nurhadiyono, Bowo dan Rahayu, Yuniarsi., (2012), “Penerapan Integrasi Numerik Menggunakan Metode Segiempat (Rectangle Rule) Untuk Menghitung Luas Daerah”, Techno.COM, Vol. 11, No. 4